A Naked Statistics a legérdekesebb könyv a legunalmasabb tudományokról

2024 Szerző: Malcolm Clapton | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 03:59

Ki mondta, hogy a statisztika unalmas és haszontalan tudomány? Charles Wheelan meggyőzően érvel amellett, hogy ez távolról sem így van. Ma közzéteszünk egy részletet a könyvéből, amely arról szól, hogyan nyerhetsz autót, nem kecskét, statisztikákkal, és megértjük, hogy az intuíció félrevezethet.

A Monty Hall talány

A Monty Hall-rejtély egy híres valószínűségszámítási probléma, amely megzavarta a több országban még mindig népszerű Let’s Make a Deal nevű játékshow résztvevőit, amely 1963-ban mutatkozott be az Egyesült Államokban. (Emlékszem, minden alkalommal, amikor gyerekkoromban néztem ezt a műsort, amikor betegség miatt nem mentem iskolába.) A könyv bevezetőjében már utaltam arra, hogy ez a játékműsor érdekes lehet a statisztikusok számára. Az egyes számok végén a döntőbe jutott résztvevő Monty Halllal három nagy ajtó előtt állt: az 1-es, a 2-es és a 3-as ajtó előtt. Monty Hall elmagyarázta a döntősnek, hogy az egyik mögött. ezek közül az ajtók közül nagyon értékes nyeremény volt – például egy új autót és egy kecske a másik kettő mögött. A döntősnek ki kellett választania az egyik ajtót, és meg kellett szereznie azt, ami mögötte van. (Nem tudom, volt-e legalább egy ember a műsorban résztvevők között, aki kecskét akart szerezni, de az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a résztvevők túlnyomó többsége új autóról álmodott.)

A nyerés kezdeti valószínűségét meglehetősen könnyű meghatározni. Három ajtó van, kettő egy kecskét, a harmadik pedig egy autót rejt. Amikor a show egyik résztvevője ezek előtt az ajtók előtt áll Monty Halllal, háromból egy esélye van kiválasztani azt az ajtót, amely mögött az autó található. Ám, amint fentebb megjegyeztük, van egy fogás az alkut kötni, amely megörökítette ezt a tévéműsort és műsorvezetőjét a valószínűségszámítási szakirodalomban. Miután a műsor döntőse a három ajtó valamelyikére mutat, a Monty Hall kinyitja a megmaradt két ajtó egyikét, ami mögött mindig ott van egy kecske. Ekkor Monty Hall megkérdezi a döntőst, hogy meg akarja-e változtatni a véleményét, vagyis elhagyni a korábban kiválasztott zárt ajtót egy másik zárt ajtó helyett.

Tegyük fel a példa kedvéért, hogy a résztvevő az 1-es ajtóra mutatott. Ekkor Monty Hall kinyitotta a 3-as ajtót, ami mögött a kecske rejtőzött. Két ajtó, az 1-es ajtó és a 2-es ajtó zárva marad. Ha az értékes nyeremény az 1-es ajtó mögött van, a döntős nyerte volna, ha pedig a 2-es ajtó mögött, akkor veszített volna. Ezen a ponton Monty Hall megkérdezi a játékost, hogy meg akarja-e változtatni kezdeti választását (ebben az esetben hagyja el az 1-es ajtót a 2-es ajtó helyett). Természetesen emlékezni fog arra, hogy mindkét ajtó még zárva van. Az egyetlen új információ, amit a résztvevő kapott, az az volt, hogy a kecske az általa nem választott két ajtó egyike mögé került.

A döntősnek fel kell hagynia az eredeti választással a 2. ajtó javára?

Azt válaszolom: igen, kell. Ha ragaszkodik az eredeti választáshoz, akkor az értékes nyeremény elnyerésének valószínűsége ⅓; ha meggondolja magát, és a 2-es ajtóra mutat, akkor annak valószínűsége, hogy értékes nyereményt nyer, ⅔ lesz. Ha nem hiszed, olvass tovább.

Elismerem, hogy ez a válasz korántsem egyértelmű első pillantásra. Úgy tűnik, hogy a fennmaradó két ajtó közül bármelyiket is választja a döntős, annak valószínűsége, hogy értékes nyereményt kap, mindkét esetben ⅓. Három zárt ajtó van. Eleinte ⅓ annak a valószínűsége, hogy értékes nyeremény rejtőzik bármelyik mögött. Van valami változás a döntős azon döntése, hogy egy másik zárt ajtó javára változtat?

Persze, hiszen a csapás az, hogy Monty Hall minden ajtó mögött tudja, mi van. Ha a döntős az 1-es ajtót választja, és valóban van mögötte egy autó, Monty Hall kinyithatja a 2-es vagy a 3-as ajtót, hogy felfedje a mögötte megbúvó kecskét.

Ha a döntős az 1-es ajtót választja, és az autó a 2-es ajtó mögött van, akkor Monty Hall nyitja a 3-as ajtót.

Ha a döntős az 1-es ajtóra mutat, és az autó a 3-as ajtó mögött van, akkor Monty Hall nyitja a 2-es ajtót.

Azzal, hogy meggondolja magát, miután a műsorvezető kinyitotta az egyik ajtót, a döntős előnyhöz jut, hogy egy ajtó helyett kettőt választ. Három különböző módon próbálom Önt meggyőzni ennek az elemzésnek a helyességéről.

Az első empirikus. 2008-ban a New York Times rovatvezetője, John Tyerney írt a Monty Hall jelenségről. Ezt követően a kiadvány munkatársai kifejlesztettek egy interaktív programot, amely lehetővé teszi, hogy játsszon ezzel a játékkal, és önállóan döntse el, hogy módosítja-e a kezdeti választást vagy sem. (A program még az ajtók mögül felbukkanó kiskecskéket és kisautókat is előírja.) A program rögzíti a nyereményét abban az esetben, ha változtat az eredeti választáson, illetve ha nem győződik meg. Fizettem az egyik lányomnak, hogy 100-szor játsszon ezzel a játékkal, minden alkalommal megváltoztatva az eredeti választását. Fizettem a bátyjának is, hogy 100-szor játssza a játékot, minden alkalommal megtartva az eredeti döntést. A lány 72-szer nyert; bátyja 33 alkalommal. Minden erőfeszítést két dollárral jutalmaztak.

A Let’s Make a Deal játék epizódjaiból származó bizonyítékok ugyanezt a mintát mutatják. Leonard Mlodinov, a The Drunkard's Walk szerzője szerint azok a döntősök, akik megváltoztatták eredeti választásukat, körülbelül kétszer nagyobb valószínűséggel nyertek, mint azok, akik nem voltak meggyőződve.

A második magyarázatom erre a jelenségre az intuíción alapul. Tegyük fel, hogy a játékszabályok kissé megváltoztak. Például a döntős a három ajtó egyikét választja: 1. ajtó, 2. ajtó és 3. ajtó, az eredeti tervek szerint. Azonban mielőtt kinyitná valamelyik ajtót, amely mögött a kecske rejtőzik, Monty Hall megkérdezi: "Egyetért-e azzal, hogy feladja a választását, cserébe kinyitja a megmaradt két ajtót?" Tehát, ha az 1. ajtót választotta, meggondolhatja magát a 2. ajtó és a 3. ajtó javára. Ha először a 3. ajtóra mutatott, kiválaszthatja az 1. ajtót és a 2. ajtót. És így tovább.

Ez nem lenne különösebben nehéz döntés számodra: teljesen nyilvánvaló, hogy fel kell adnod a kezdeti választást a megmaradt két ajtó javára, mert így ⅓-ről ⅔-ra nő a nyerési esély. A legérdekesebb az, hogy lényegében ezt kínálja a Monty Hall egy igazi játékban, miután kinyitotta az ajtót, amely mögött a kecske rejtőzik. Az alapvető tény, hogy ha lehetőséget kapna két ajtó kiválasztására, akkor az egyik mögött úgyis egy kecske bújna meg. Amikor a Monty Hall kinyitja az ajtót, amely mögött a kecske van, és csak ezután kérdezi meg, hogy beleegyezel-e az eredeti választás megváltoztatásához, az jelentősen megnöveli esélyét egy értékes nyeremény megnyerésére! Alapvetően Monty Hall azt mondja neked: "⅔ annak az esélye, hogy értékes nyeremény rejtőzik a két ajtó egyike mögött, amelyet először nem választottál, ami még mindig több, mint ⅓!"

El tudod képzelni így is. Tegyük fel, hogy az 1. ajtóra mutatott. Ezt követően a Monty Hall lehetőséget ad arra, hogy lemondjon az eredeti döntésről a 2. ajtó és a 3. ajtó javára. Ön beleegyezik, és két ajtó áll a rendelkezésére, ami azt jelenti, hogy minden ok arra számít, hogy értékes nyereményt nyer ⅔, nem pedig ⅓ valószínűséggel. Mi lett volna, ha ebben a pillanatban a Monty Hall kinyitja a 3-as ajtót – az egyik „az ön” ajtaját – és ott van mögötte egy kecske? Megrendítené ez a tény a döntésébe vetett bizalmát? Természetesen nem. Ha az autó a 3-as ajtó mögé bújna, Monty Hall kinyitná a 2-es ajtót! Nem mutatna meg semmit.

Amikor a játékot leütési forgatókönyv szerint játsszák, a Monty Hall valóban választási lehetőséget ad az elején megadott ajtó és a két fennmaradó ajtó között, amelyek közül az egyik lehet egy autó. Amikor Monty Hall kinyitja az ajtót, amely mögött a kecske rejtőzik, egyszerűen szívességet tesz azzal, hogy megmutatja, hogy a másik két ajtó közül melyik nem az autó. Mindkét következő forgatókönyvben azonos valószínűséggel nyersz.

1. Az 1-es ajtó kiválasztása, majd beleegyezése, hogy „átváltson” a 2-es és a 3-as ajtóra, még mielőtt bármelyik ajtót kinyitná.
2. Az 1-es ajtó kiválasztása, majd beleegyezése a 2-es ajtóra „váltásba”, miután Monty Hall megmutatja a kecskét a 3-as ajtó mögött (vagy a 3-as ajtó választása, miután Monty Hall megmutatja a 2-es ajtó mögötti kecskét).

Az eredeti döntés feladása mindkét esetben két ajtó előnyét jelenti egynél, és így ⅓-ről ⅔-ra duplázhatja nyerési esélyét.

A harmadik lehetőségem ugyanennek az alapvető intuíciónak egy radikálisabb változata. Tegyük fel, hogy a Monty Hall megkéri, hogy válasszon egyet a 100 ajtó közül (a három közül egy helyett). Miután ezt megtette, mondjuk a 47-es ajtóra mutatva kinyitja a 98 megmaradt ajtót, amely felfedi a kecskéket. Most már csak két ajtó maradt zárva: az Ön 47-es ajtója és egy másik, például a 61-es ajtó. Feladja a kezdeti választását?

Természetesen igen! 99 százalék esély van arra, hogy az autó olyan ajtó mögött van, amelyet először nem választott. Monty Hall 98 ajtót kinyitott, nem volt mögöttük autó. Így csak 1 a 100-hoz az esélye annak, hogy a kezdeti választása (47-es ajtó) helyes lesz. Ugyanakkor 100-ból 99 esély van arra, hogy az eredeti választása rossz volt. Ha igen, akkor az autó a megmaradt ajtó, azaz a 61-es ajtó mögött található. Ha 100-ból 99-szeri nyerési valószínűséggel akarsz játszani, akkor "válts" a 61-es ajtóra.

Röviden, ha valaha is játszanod kell a Let’s Make a Deal játékkal, mindenképpen vissza kell lépned az eredeti döntésedtől, amikor Monty Hall (vagy aki helyettesíti) választási lehetőséget ad. Ebből a példából egy egyetemesebb következtetés az, hogy bizonyos események valószínűségére vonatkozó intuitív sejtései néha félrevezethetnek.