Leonardo Fibonacci középkori matematikus problémája a nyulakról

2024 Szerző: Malcolm Clapton | [email protected]. Utoljára módosítva: 2023-12-17 03:59

Számold ki, hogy jövő év elejére milyen utódokat ad egy állatpár.

Leonardo Fibonacci kiemelkedő középkori matematikus volt. Úgy tartják, hogy ő vezette be az arab számokat. A tizedes aritmetikát magyarázó és népszerűsítő The Book of the Abacus című műben Fibonacci feladja a nyulakra vonatkozó híres problémáját. Próbáld megoldani.

Január elején egy pár újszülött nyulat (hím és nőstény) egy karámba helyeztek, minden oldalról bekerítettek. Hány pár nyulat termelnek jövő év elejéig? A következő feltételeket kell figyelembe venni:

• A nyulak két hónappal a születés után, vagyis a harmadik élethónap elejére érik el az ivarérettséget.
• Minden hónap elején minden ivarérett pár csak egy párnak ad életet.
• Az állatok mindig "egy nőstény + egy hím" párban születnek.
• A nyulak halhatatlanok, a ragadozók nem tudják megenni őket.

Nézzük meg, hogyan növekszik a nyulak száma az első hat hónapban:

1. hónap. Egy pár fiatal nyúl.

2. hónap. Egy eredeti pár van még. A nyulak még nem érték el a fogamzóképes kort.

3. hónap. Két pár: az eredeti, szülőképes kort elért + egy pár fiatal nyúl, akit világra hozott.

4. hónap. Három pár: egy eredeti pár + egy pár nyúl, akiket a hónap elején szült + egy pár nyúl, amely a harmadik hónapban született, de még nem érte el a pubertás kort.

5. hónap. Öt házaspár: egy eredeti házaspár + egy harmadik hónapban született és szülőképes kort elért pár + két új házaspár, akiket szültek + egy pár, amely a negyedik hónapban született, de még nem érte el az érettséget.

6. hónap. Nyolc pár: öt pár a múlt hónapból + három újszülött pár. Stb.

Az érthetőség kedvéért írjuk be a kapott adatokat a táblázatba:

Ha alaposan megvizsgálja a táblázatot, a következő mintát azonosíthatja. Minden alkalommal, amikor az n. hónapban jelenlévő nyulak száma megegyezik az előző (n - 1.) hónapban lévő nyulak számával, összeadva az újszülött nyulak számával. Számuk viszont megegyezik az (n - 2) hónap (2 hónappal ezelőtti) összes állatszámával. Innen származtathatja a képletet:

F = F_n-1+ F_n-2, ahol F - az összes nyúlpár száma az n-edik hónapban, F_n-1 a nyúlpárok teljes száma az előző hónapban, és F_n-2 - a nyúlpárok teljes száma két hónappal ezelőtt.

Számoljuk meg az állatok számát a következő hónapokban ezzel a módszerrel:

7. hónap. 8 + 5 = 13.

8. hónap. 13 + 8 = 21.

9. hónap. 21 + 13 = 34.

10. hónap. 34 +21 = 55.

11. hónap. 55 + 34 = 89.

12. hónap. 89 + 55 = 144.

13. hónap (jövő év eleje). 144 + 89 = 233.

A 13. hónap elején, vagyis az év végén 233 nyulapárunk lesz. Közülük 144 felnőtt, 89 pedig fiatal lesz. Az így kapott 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 sorozatot Fibonacci-számoknak nevezzük. Ebben minden új végső szám egyenlő az előző két szám összegével.

Válasz megjelenítése Válasz elrejtése